问收敛半径怎么求呢

【收敛半径怎么求呢】在数学分析中，幂级数的收敛半径是一个非常重要的概念。它决定了幂级数在哪些范围内是收敛的。了解如何求收敛半径，有助于我们更好地理解函数的展开和应用。

一、什么是收敛半径？

对于一个幂级数：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其收敛半径 $ R $ 是使得该级数在区间 $ x - x_0 < R $ 内绝对收敛，在 $ x - x_0 > R $ 内发散的最大正实数。当 $ R = 0 $ 时，仅在 $ x = x_0 $ 处收敛；当 $ R = \infty $ 时，对所有 $ x $ 都收敛。

二、如何求收敛半径？

常见的方法有以下几种：

三、示例说明

例1：

考虑幂级数

$$

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 2)^n}{n!}

$$

- 使用比值法：

$$

\lim_{n \to \infty} \left \frac{a_{n+1}}{a_n} \right = \lim_{n \to \infty} \left \frac{1/(n+1)!}{1/n!} \right = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0

$$

所以 $ R = \frac{1}{0} = \infty $，即该级数在整个实数轴上都收敛。

例2：

考虑幂级数

$$

\sum_{n=1}^{\infty} n(x + 1)^n

$$

- 使用根值法：

$$

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

$$

所以 $ R = 1 $，即该级数在 $ x + 1 < 1 $ 内收敛。

四、总结

通过上述方法，我们可以较为系统地求出幂级数的收敛半径，并进一步判断其收敛区间。掌握这些方法不仅有助于考试，也对理解函数的局部性质和解析延拓有重要意义。