【微分函数公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。微分函数公式是求导的基本依据，掌握这些公式有助于快速计算函数的导数，从而分析函数的变化趋势和极值点等关键信息。
以下是对常见微分函数公式的总结，结合表格形式进行展示，便于查阅与理解。
一、基本微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数的微分法则
对于由多个函数组合而成的复合函数，需使用链式法则进行求导：
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = g(h(x)) $ | $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ |
| $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ | $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $（乘积法则） |
| $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $（商法则） |
三、高阶导数
某些函数的高阶导数也有固定规律，例如：
| 函数形式 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n阶导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
四、隐函数与参数方程的微分
对于无法显式表示的函数或参数方程，可采用隐函数求导法或参数求导法：
| 函数形式 | 导数（微分） |
| 隐函数 $ F(x, y) = 0 $ | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} $ |
| 参数方程 $ x = f(t), y = g(t) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} $ |
五、总结
微分函数公式是数学分析中的基础内容，掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能提升对函数性质的理解。无论是初学者还是进阶学习者，都应熟练记忆并灵活运用这些公式。通过表格的形式整理和归纳，可以更清晰地看到不同函数的导数规律，为后续的学习和应用打下坚实基础。