【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望与方差是描述随机变量核心特征的两个重要指标。它们分别反映了随机变量的平均值和波动程度。以下是对期望与方差公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势，表示随机变量的“中心位置”。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，概率密度函数为 $ f(x) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差用于衡量随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的“波动性”或“分散程度”。
1. 方差的定义
方差为随机变量与其期望的平方差的期望：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常用分布的期望与方差公式
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Po(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望和方差是统计分析中不可或缺的工具，能够帮助我们理解随机变量的基本性质。期望反映的是平均值，而方差反映的是数据的集中程度或波动范围。掌握这些公式不仅有助于理论学习，也对实际问题建模和数据分析具有重要意义。
通过上述表格，可以快速查阅不同分布下的期望与方差公式，便于在实际应用中灵活使用。