【如何理解动态规划】动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决复杂问题的算法设计方法，尤其适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。它通过将问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，从而避免重复计算，提高效率。
一、动态规划的核心思想
| 核心概念 | 解释 |
| 最优子结构 | 一个问题的最优解包含其子问题的最优解。即，大问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。 |
| 重叠子问题 | 在递归求解过程中，子问题会被多次重复计算。动态规划通过存储这些结果，避免重复计算。 |
| 状态转移方程 | 描述当前状态与之前状态之间的关系，是动态规划的关键部分。 |
| 记忆化 | 通过缓存已计算的结果，避免重复计算，提升效率。 |
二、动态规划的适用场景
| 场景 | 说明 |
| 最短路径问题 | 如图中的最短路径、Dijkstra 算法等。 |
| 背包问题 | 经典的组合优化问题，分为0-1背包和完全背包。 |
| 最长公共子序列（LCS） | 比较两个序列的相似性，常用于文本比对。 |
| 斐波那契数列 | 虽然简单，但可以展示动态规划的基本思路。 |
| 矩阵链乘法 | 如何安排括号使乘法次数最少。 |
三、动态规划的实现方式
| 实现方式 | 说明 |
| 自顶向下（带记忆化） | 从大问题出发，递归地分解问题，使用备忘录存储子问题的解。 |
| 自底向上 | 从最小的子问题开始，逐步构建到最终问题的解，通常使用表格或数组存储中间结果。 |
四、动态规划的步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1. 定义状态 | 明确问题中需要保存的状态变量，如 `dp[i]` 表示前 i 个元素的某种属性。 |
| 2. 初始化状态 | 设置初始条件，如 `dp[0] = 0` 或 `dp[1] = 1`。 |
| 3. 状态转移 | 建立状态之间的递推关系，如 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]`。 |
| 4. 计算结果 | 根据状态转移方程逐步计算出最终答案。 |
五、动态规划的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 高效，避免重复计算 | 空间复杂度较高，需存储大量中间结果 |
| 可以解决许多复杂问题 | 需要准确识别最优子结构和重叠子问题 |
| 适用于多种应用场景 | 对于某些问题，可能不如贪心或回溯高效 |
六、总结
动态规划是一种强大的算法设计方法，尤其适合处理具有重叠子问题和最优子结构的问题。它的核心在于“分而治之”和“记忆化”，通过合理地划分问题和存储中间结果，大幅提高算法效率。掌握动态规划的关键在于理解问题结构、正确建立状态转移方程，并选择合适的实现方式。