【首项加末项的和乘以项数除以二】在数学学习中，我们经常会遇到等差数列求和的问题。一个非常实用且经典的公式是“首项加末项的和乘以项数除以二”。这个公式不仅简单易记，而且在实际问题中应用广泛，尤其在计算连续数列的总和时非常高效。
一、公式解析
该公式的表达形式为：
$$
\text{和} = \frac{(\text{首项} + \text{末项}) \times \text{项数}}{2}
$$
- 首项：数列的第一个数
- 末项：数列的最后一个数
- 项数：数列中一共有多少个数
这个公式的核心思想是：将等差数列的首项与末项相加，再乘以项数，最后除以2，从而得到整个数列的总和。
二、应用场景举例
| 应用场景 | 例子 | 计算过程 |
| 计算自然数1到100的和 | 1 + 2 + 3 + … + 100 | 首项=1，末项=100，项数=100 和 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050 |
| 等差数列求和 | 2, 4, 6, 8, 10 | 首项=2，末项=10，项数=5 和 = (2 + 10) × 5 ÷ 2 = 30 |
| 工程中的累计计算 | 每天增加一定数量的零件 | 如第1天生产5个，第10天生产14个，共10天 和 = (5 + 14) × 10 ÷ 2 = 95 |
三、公式推导简要说明
等差数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数，$a_n$ 是第 $n$ 项。
若我们将数列倒序排列，然后与原数列相加，每一对的和都是相同的，即 $a_1 + a_n$。因为有 $n$ 项，所以总和为：
$$
(a_1 + a_n) \times n \div 2
$$
这就是“首项加末项的和乘以项数除以二”的由来。
四、使用注意事项
- 该公式仅适用于等差数列（即相邻两项之差相等的数列）。
- 如果数列不是等差数列，则不能直接使用此公式。
- 在实际应用中，需要先确认数列是否为等差数列，再确定首项、末项和项数。
五、总结
“首项加末项的和乘以项数除以二”是一个简洁而高效的等差数列求和方法。它不仅在数学考试中频繁出现，也广泛应用于日常生活和工程计算中。掌握这一公式，能够帮助我们快速解决许多实际问题，提升计算效率。
| 公式名称 | 公式表达 | 适用范围 | 使用条件 |
| 首项加末项的和乘以项数除以二 | $\frac{(\text{首项} + \text{末项}) \times \text{项数}}{2}$ | 等差数列求和 | 数列为等差数列，已知首项、末项和项数 |