【用余弦或正弦定理怎么求三角形面积】在解决三角形问题时，除了常见的底乘高除以二的面积公式外，还可以通过余弦定理和正弦定理来计算三角形的面积。这两种方法适用于已知边角关系但不知道高或底的情况，尤其在非直角三角形中更为实用。
下面是对这两种方法的总结，并附上对比表格，帮助理解它们的应用场景和计算方式。
一、使用正弦定理求面积
适用条件：已知两边及其夹角（即“两边一夹角”）。
公式：
$$
S = \frac{1}{2}ab\sin C
$$
其中：
- $ a $ 和 $ b $ 是三角形的两条边；
- $ C $ 是这两条边的夹角；
- $ S $ 是三角形的面积。
特点：
- 需要已知两边和它们的夹角；
- 计算简单，适合初学者；
- 不需要知道第三边或高。
二、使用余弦定理求面积
适用条件：已知三边长度（即“三边已知”），或者已知两边及第三边，可通过余弦定理先求出夹角，再代入面积公式。
步骤：
1. 使用余弦定理求出一个角的大小：
$$
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
$$
2. 代入正弦公式求面积：
$$
S = \frac{1}{2}ab\sin C
$$
特点：
- 适用于已知三边的情况；
- 可用于计算任意角度的三角形面积；
- 步骤稍多，但更灵活。
三、对比总结
| 方法 | 公式 | 已知条件 | 优点 | 缺点 |
| 正弦定理法 | $ S = \frac{1}{2}ab\sin C $ | 两边及夹角 | 简单直观 | 需要夹角 |
| 余弦定理法 | 先求角再用正弦公式 | 三边或两边及第三边 | 适用于三边已知 | 步骤较多 |
四、实际应用示例
例1：已知两边及夹角
设 $ a = 5 $，$ b = 7 $，夹角 $ C = 60^\circ $，则面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60^\circ = \frac{35}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}
$$
例2：已知三边
设 $ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $，先求夹角 $ C $：
$$
\cos C = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0 \Rightarrow C = 90^\circ
$$
因此面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6
$$
五、结语
无论是使用正弦定理还是余弦定理，都可以在不同条件下求得三角形的面积。选择哪种方法取决于已知信息的类型。掌握这些方法有助于在复杂几何问题中灵活应对，提升解题效率。