【向量计算公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，它不仅包含大小，还包含方向。向量的运算广泛应用于力学、工程、计算机图形学等领域。掌握常见的向量计算公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。
以下是一些常用的向量计算公式及其简要说明，以表格形式进行总结：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ | 将两个向量对应分量相加，得到一个新的向量。 | ||||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ | 将两个向量对应分量相减，得到一个新的向量。 | ||||
| 向量数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ | 用一个标量 $k$ 乘以向量 $\vec{a}$，改变其长度或方向。 | ||||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ | 计算向量的大小（即长度）。 | ||
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 将一个向量除以其模长，得到与原向量方向相同但长度为1的单位向量。 | ||
| 向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 两个向量的点积是一个标量，等于它们的模长乘以夹角的余弦值。 | ||||
| 向量叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面。 | ||||
| 向量夹角公式 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 通过点积计算两个向量之间的夹角。 | |
| 向量投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 计算向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影。 |
以上是向量计算中的一些基本公式，掌握这些内容有助于在不同领域中更高效地处理向量相关的问题。无论是学习还是应用，理解这些公式的含义和使用方法都是非常有必要的。