【用逐差法测量杨氏模量的公式】在材料力学中，杨氏模量（Young's Modulus）是衡量材料刚度的重要物理量。在实验中，常用拉伸法测量金属丝的杨氏模量，而为了提高数据处理的精度和减少系统误差，常采用“逐差法”进行数据处理。
逐差法是一种通过将测量数据按一定间隔分组后求差值的方法，能够有效消除某些系统误差，并提高测量结果的准确性。本文将总结用逐差法测量杨氏模量的公式及其实验步骤。
一、实验原理
杨氏模量 $ E $ 的定义为：
$$
E = \frac{F}{A} \cdot \frac{L}{\Delta L}
$$
其中：
- $ F $：作用在金属丝上的拉力（单位：N）
- $ A $：金属丝的横截面积（单位：m²）
- $ L $：金属丝的原始长度（单位：m）
- $ \Delta L $：金属丝在拉力下的伸长量（单位：m）
在实验中，通常通过测量不同拉力下金属丝的伸长量来计算杨氏模量。
二、逐差法的原理与步骤
逐差法的基本思想是将一组等间距的数据分成若干组，然后对每组数据进行差值计算，再取平均值，从而提高测量精度。
实验步骤简述：
1. 在金属丝上施加一系列等质量的砝码，记录对应的伸长量。
2. 将伸长量数据按顺序排列，分为若干组（如每组5个数据）。
3. 对每组数据进行相邻两数的差值计算。
4. 计算所有差值的平均值，作为最终的伸长量变化。
5. 利用该平均值代入杨氏模量公式进行计算。
三、逐差法计算杨氏模量的公式
设金属丝长度为 $ L $，直径为 $ d $，横截面积为 $ A = \frac{\pi d^2}{4} $，拉力为 $ F = mg $，测得伸长量为 $ \Delta L $，则：
$$
E = \frac{F}{A} \cdot \frac{L}{\Delta L} = \frac{mgL}{\frac{\pi d^2}{4} \cdot \Delta L} = \frac{4mgL}{\pi d^2 \Delta L}
$$
若使用逐差法，则将多个 $ \Delta L $ 值分别求差，再取平均值 $ \bar{\Delta L} $，代入上式即可得到更精确的 $ E $ 值。
四、实验数据示例（表格形式）
| 砝码质量 (kg) | 伸长量 ΔL₁ (mm) | 伸长量 ΔL₂ (mm) | 伸长量 ΔL₃ (mm) | 伸长量 ΔL₄ (mm) | 伸长量 ΔL₅ (mm) | 平均 ΔL (mm) |
| 0.1 | 0.20 | 0.21 | 0.20 | 0.22 | 0.21 | 0.21 |
| 0.2 | 0.42 | 0.43 | 0.41 | 0.43 | 0.42 | 0.42 |
| 0.3 | 0.64 | 0.65 | 0.63 | 0.65 | 0.64 | 0.64 |
| 0.4 | 0.86 | 0.87 | 0.85 | 0.87 | 0.86 | 0.86 |
| 0.5 | 1.09 | 1.10 | 1.08 | 1.10 | 1.09 | 1.09 |
五、结论
使用逐差法可以有效减小由于仪器误差或读数误差带来的影响，使杨氏模量的测量结果更加准确。通过上述公式和实验步骤，结合实际测量数据，可以较为科学地计算出金属丝的杨氏模量。
附注：实验中应确保金属丝处于弹性形变范围内，避免超过其屈服极限。同时，应多次重复实验以提高数据的可靠性。