黎曼积分的定义（黎曼积分）

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1、一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0

2、每个闭区间[xi,xi + 1]叫做一个子区间。

3、定义λ 为这些子区间长度的最大值：λ = max(xi + 1 − xi)，其中0≤i≤n-1。

4、再定义取样分割。

5、一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x0

6、λ的定义同上。

7、精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...,tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。

8、如果对于任意0≤i≤n，都存在r(i)使得xi = yr(i)，并存在使得ti = sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、t0,...,tn-1的一个精细化分割。

9、简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

10、于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。

11、如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

12、 对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割x0,...,xn、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式：和式中的每一项是子区间长度xi + 1 − xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。

13、直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

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