拉普拉斯展开式（拉普拉斯展开式）

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1、潮汐现象表现出十分复杂的周期性变化，因此引潮力位也就是各种不同周期函数的总和。

2、为了研究潮汐现象的几何和力学性质，还要将引潮力位进一步展开，以便分离出其中的不同因素。

3、在这种情况下，勒让德展开式（5-15）和（5-16）两式中包含天体（月亮或太阳）的地心天顶距z是不方便的，因为它随天体以及地面点的位置而变化。

4、由此，我们在进一步展开引潮力位时，采用天体的赤道坐标和地面点的地理坐标，以便将此两种因素在引潮力位中分离开来。

5、图5-6 拉普拉斯展开式中的天球坐标要素在图5-6中，P是北天极，Z是地球上任意一点A的天顶，OM是月心。

6、由此 ＝90°-δ，δ为月亮的赤纬； ，φ为A点的纬度； ，z是月亮在A点的地心天顶距；∠ZPOM＝t，t为月亮的时角。

7、在球面三角形PZOM中，利用球函数的加法定理可得勘探重力学与地磁学将上式代入（5-11）式中，并引进杜德森常数，则得引潮力位的一般展开式：勘探重力学与地磁学将（5-17）式取至二阶项，则有勘探重力学与地磁学将上式代入（5-18）式，并令ρ＝R，则得地球表面上任一点A的取至二阶项的引潮力位展开式为勘探重力学与地磁学上式就是引潮力位的拉普拉斯展开式。

8、此式右端所包含的三项分别表示三种不同周期的分潮波，它们有着显著的几何特征。

9、（1）长周期波：又称长周期潮。

10、第一项 包含了一个常波 和一个周期波 。

11、从球面天文学可知，天体赤纬δ的变化对月亮是一个月为一周期，对太阳是一年为一周期。

12、因为这个周期波与时间有关的周期性函数只有sin2δ，所以此项潮波称为月亮的半月潮波（周期为14天）或太阳的半年潮波（周期为六个月），两者统称为长周期波，又称长周期潮。

13、而对于常波，它仅是观测点纬度的函数。

14、因为，若使 ，则在φ＝±35°16′的两条纬线上，此项常波等于零。

15、也就是说，由φ＝±35°16′的两条纬线将整个地球表面划分成三个带形区域。

16、此项引潮力位在这三个区域内的数值正负交错。

17、图5-7中，非阴影区为正，为涨潮区；阴影区为负，为落潮区。

18、显然，引潮力位的这一项为带函数。

19、图5-7 长周期潮分布区图5-8 半日潮波分布区图5-9 周日潮波分布区（2）半日潮波：又称半日潮。

20、第二项 cos2φcos2δcos2t，与时间有关的周期性函数为cos2δcos2t。

21、从球面天文学可知，月亮时角t在一个太阴日（24 小时50.47分）内变化2π。

22、太阳时角在24小时内变化2π。

23、显然cos2t的周期为半日，而在一日内月亮或太阳的赤纬δ变化很小。

24、因此这种潮波称为月亮或太阳的半日潮波，又称半日潮。

25、对于与月亮或太阳的时角t成 和 的地面点以及两极上 ，此项半日潮波等于零。

26、这就是说，由 和 的两条经线将整个地球表面划分成四个扇形区域。

27、此项引潮力位在此四个区域内的数值正负交错。

28、如图5-8。

29、图中非阴影区为正，为涨潮区；阴影区为负，为落潮区。

30、在每一区域的中央子午线与赤道的交点上振幅达到极大值。

31、显然，引潮力位的这一项为扇函数。

32、（3）周日潮波：又称日潮。

33、第三项 sin2φsin2δcost，与时间有关的周期性函数为sin2δcost。

34、显然，cost的周期为一日，因此这种称为周日潮波，又叫日潮。

35、对于与月亮或太阳的时角t成 的地面点以及赤道上（φ＝0°），此项周日潮波等于零。

36、这就是说，由 的经线和赤道将整个地球表面划分成四个田形区域，此项引潮力位在此四个区域内的数值正负交错。

37、如图5-9所示，非阴影区为正，为涨潮区；阴影区为负，为落潮区。

38、在每一区域的中央子午线与φ＝±45°的纬线交点上、振幅达到最大值。

39、显然，引潮力位的这一项为田函数。

40、从以上引潮力位的展开及其几何特征可以初步验证潮汐现象是由各种不同周期的潮波迭加而成的。

41、只要在（5-18）式中取n＝3，即可推出与（5-16）式相应的引潮力位三阶项展开式为勘探重力学与地磁学。

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