狄拉克函数的傅里叶变换（狄拉克函数）

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1、8.1.1Δ 函数的定义我们知道，一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应，f（x）称为在点x处的函数值。

2、然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数，因为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种。

3、所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：地球物理数据处理教程为理解δ（x），对h＞0引进如下函数序列地球物理数据处理教程由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜ ，使得有地球物理数据处理教程于是得到：地球物理数据处理教程由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限。

4、因为地球物理数据处理教程故可将δ（x）粗糙地理解为满足地球物理数据处理教程及地球物理数据处理教程的一个较通常函数意义更广的“函数”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。

5、物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ（x）表示密度分布函数，则在x≠0时，δ（x）=0。

6、如果取δ（x）=C为有限常数，δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函数，按照一般的积分计算有 δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾。

7、故不能取δ（0）等于有限常数。

8、事实上，若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：地球物理数据处理教程由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题。

9、在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点源的电荷（或电流）密度。

10、上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任意点（ 、 ，…， ）的δ函数可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1- ）δ（x2- ）…δ（xn- ），使得对任何在点（ ， ，…， ）连续的函数f（x1，x2，…，xn），有地球物理数据处理教程成立，特别当取n=1，x1=x， =0时，则得到（8.1.1）式。

11、实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式。

12、同样它还应满足：地球物理数据处理教程及地球物理数据处理教程本书中只涉及二维或三维的δ函数。

13、对于一个有限的研究域，关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：地球物理数据处理教程式中D为一个二维区域，f（x1，x2）在（ ， ）处连续，在第二个等式中，要求D的边界Γ在奇点（ ， ）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：地球物理数据处理教程现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（ ， ）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（8.1.7）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故地球物理数据处理教程图8.1 D∩B的二维几何表示从而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知地球物理数据处理教程式中D∩B表示D域和B圆重合的部分，即图8.1中阴影部分，另外有地球物理数据处理教程因为Γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，D∩B域趋于半圆，这样，由以上两式有地球物理数据处理教程这便是（8.1.7）式中的第二等式。

14、8.1.2Δ 函数的性质及其傅氏变换对于一维情况，给出δ函数的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续。

15、由（8.1.7）式有地球物理数据处理教程另外，设αα2为常数，δ函数对加法运算是线性的。

16、地球物理数据处理教程对于任何在x0处连续的函数f（x），有地球物理数据处理教程上式称为δ函数的筛选性质。

17、由于地球物理数据处理教程可知地球物理数据处理教程由于地球物理数据处理教程故有δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）或同样δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得xδ（x）=0 （8.1.16）若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0，于是地球物理数据处理教程由此推知δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）同理可得δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）这便是（8.1.2）式的由来。

18、两个δ函数的褶积由下式确定。

19、地球物理数据处理教程于是地球物理数据处理教程下面我们给出δ函数的傅氏变换，根据δ函数的定义（8.1.1）式有地球物理数据处理教程反过来，数学上可以证明地球物理数据处理教程即是说δ（x）与1组成傅氏变换对，由（8.1.10）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为地球物理数据处理教程。

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