【不等式的基本性质】在数学学习中，不等式是表达两个数或代数式之间大小关系的重要工具。与等式不同，不等式涉及的是“大于”、“小于”、“大于等于”和“小于等于”等符号。掌握不等式的基本性质，有助于我们更准确地进行代数运算和解决实际问题。
以下是不等式的基本性质总结：
一、不等式的基本性质
| 性质编号 | 性质名称 | 表达形式 | 说明 |
| 1 | 反身性 | $ a < b $ 或 $ a > b $ | 一个数不能同时大于和小于另一个数 |
| 2 | 对称性 | 若 $ a < b $，则 $ b > a $ | 不等号方向相反 |
| 3 | 传递性 | 若 $ a < b $ 且 $ b < c $，则 $ a < c $ | 不等式具有传递性 |
| 4 | 加法性质 | 若 $ a < b $，则 $ a + c < b + c $ | 两边同时加同一个数，不等号不变 |
| 5 | 减法性质 | 若 $ a < b $，则 $ a - c < b - c $ | 两边同时减同一个数，不等号不变 |
| 6 | 乘法性质（正数） | 若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac < bc $ | 两边同时乘以正数，不等号不变 |
| 7 | 乘法性质（负数） | 若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac > bc $ | 两边同时乘以负数，不等号方向改变 |
| 8 | 除法性质（正数） | 若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $ | 两边同时除以正数，不等号不变 |
| 9 | 除法性质（负数） | 若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $ | 两边同时除以负数，不等号方向改变 |
| 10 | 平方性质（正数） | 若 $ 0 < a < b $，则 $ a^2 < b^2 $ | 正数的平方保持原不等关系 |
| 11 | 平方性质（负数） | 若 $ a < b < 0 $，则 $ a^2 > b^2 $ | 负数的平方会颠倒不等关系 |
二、注意事项
1. 乘除负数时要特别注意不等号方向的变化：这是初学者容易出错的地方。
2. 比较两个数的大小时，可以考虑它们的差或商：例如，若 $ a - b > 0 $，则 $ a > b $。
3. 不等式与等式的区别：不等式在某些情况下可能需要分情况讨论，尤其是涉及绝对值或变量符号不确定时。
三、应用举例
- 已知 $ x + 3 < 5 $，求 $ x $ 的范围：
$$
x + 3 < 5 \Rightarrow x < 2
$$
- 已知 $ 2x > 6 $，求 $ x $ 的范围：
$$
2x > 6 \Rightarrow x > 3
$$
- 已知 $ -3x < 9 $，求 $ x $ 的范围：
$$
-3x < 9 \Rightarrow x > -3 \quad (\text{两边除以负数，不等号方向改变})
$$
通过理解并熟练掌握这些基本性质，我们可以更有效地处理各种不等式问题，为后续学习不等式组、二次不等式等内容打下坚实基础。