【导数为arctanx的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数是基本且重要的操作之一。当我们知道一个函数的导数为 $ \arctan x $ 时，我们需要找到其对应的原函数。本文将总结与“导数为 $ \arctan x $ 的原函数”相关的知识，并通过表格形式清晰展示相关公式和计算方法。
一、
已知某函数的导数为 $ \arctan x $，那么该函数即为 $ \arctan x $ 的原函数。换句话说，我们要求的是：
$$
\int \arctan x \, dx
$$
这是一个常见的不定积分问题，可以通过分部积分法来解决。具体步骤如下：
1. 设 $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
2. 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来对后一项积分进行处理：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
二、表格展示
| 积分表达式 | 原函数 | 说明 |
| $ \int \arctan x \, dx $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ | 使用分部积分法求解，结果包含对数项 |
| $ \int \frac{1}{1 + x^2} dx $ | $ \arctan x + C $ | 基本积分公式，导数为 $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $ | $ \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ | 通过替换法求解，结果为对数函数 |
三、结语
通过对 $ \arctan x $ 进行积分运算，我们可以得到其原函数的形式，并理解其背后的数学原理。这种类型的积分在物理、工程以及数学建模中都有广泛应用。掌握这些基础积分技巧，有助于提升对微积分的理解与应用能力。