【常用泰勒展开公式有哪些】泰勒展开是数学中一种重要的近似方法，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。它通过将一个函数在某一点附近用无限多项式来表示，从而更方便地进行计算和分析。以下是一些常用的泰勒展开公式，适用于不同类型的函数。
一、泰勒展开简介
泰勒展开的基本形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
其中，当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。
二、常用泰勒展开公式总结
| 函数 | 泰勒展开式（在 $ x=0 $ 处的麦克劳林展开） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ （当 $ k $ 为任意实数） |
三、使用场景简述
- $ e^x $：常用于指数增长或衰减模型。
- $ \sin x $ 和 $ \cos x $：在波动、周期性问题中广泛应用。
- $ \ln(1+x) $：常用于近似计算对数函数。
- $ \arctan x $：在三角函数反函数的近似计算中使用较多。
- $ (1+x)^k $：适用于二项式展开，尤其在概率论和组合数学中有重要作用。
四、注意事项
- 泰勒展开的收敛区间决定了其适用范围，超出该范围时可能不准确。
- 高阶项越多，近似精度越高，但计算复杂度也相应增加。
- 在实际应用中，往往根据需要截断到一定阶数，以平衡精度与效率。
如需进一步了解某些函数的泰勒展开推导过程，可以参考相关教材或在线资源，以便深入掌握其数学原理。