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等比数列求和公式怎么推导

2025-07-10 18:56:14

问题描述:

等比数列求和公式怎么推导,求路过的高手停一停,帮个忙!

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2025-07-10 18:56:14

等比数列求和公式怎么推导】在数学中,等比数列是一个非常重要的数列类型,其特点是每一项与前一项的比值是固定的,这个比值称为公比。等比数列的求和公式是解决实际问题的重要工具,例如金融计算、几何增长分析等。本文将详细总结等比数列求和公式的推导过程,并以表格形式清晰展示关键步骤。

一、等比数列的基本概念

概念 含义
首项 数列的第一个数,记作 $ a $
公比 每一项与前一项的比值,记作 $ r $
第 $ n $ 项 $ a_n = a \cdot r^{n-1} $
前 $ n $ 项和 $ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} $

二、等比数列求和公式的推导过程

等比数列的求和公式可以通过以下步骤进行推导:

步骤 1:写出等比数列的前 $ n $ 项和

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}

$$

步骤 2:两边同时乘以公比 $ r $

$$

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n

$$

步骤 3:用原式减去新式

$$

S_n - rS_n = (a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + \dots + ar^n)

$$

左边为 $ S_n(1 - r) $,右边则为:

$$

a - ar^n

$$

因此:

$$

S_n(1 - r) = a(1 - r^n)

$$

步骤 4:解出 $ S_n $

$$

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

三、特殊情况处理

当公比 $ r = 1 $ 时,所有项都等于首项 $ a $,因此:

$$

S_n = a + a + a + \dots + a = na

$$

四、公式总结表

公式名称 公式表达 适用条件
等比数列求和公式 $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $ $ r \neq 1 $
当 $ r = 1 $ 时 $ S_n = na $ $ r = 1 $

五、示例说明

假设首项 $ a = 2 $,公比 $ r = 3 $,求前 4 项的和:

$$

S_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80

$$

使用公式验证:

$$

S_4 = \frac{2(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 81)}{-2} = \frac{2 \times (-80)}{-2} = 80

$$

结果一致,公式正确。

六、总结

等比数列求和公式的推导过程简洁明了,核心思想是通过“错位相减法”消去中间项,从而得到一个简洁的表达式。掌握这一方法不仅有助于理解数列的本质,还能提升解决实际问题的能力。通过表格形式整理关键信息,能够更直观地理解并记忆公式及其应用条件。

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