【复数的除法】在数学中，复数是形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。其中，复数的除法相对复杂，需要通过共轭复数来实现分母的有理化。
一、复数除法的基本概念
复数的除法是指将一个复数除以另一个非零复数。设两个复数分别为 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，则它们的商为：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}
$$
为了简化这个表达式，通常会使用 共轭复数 的方法，即将分母变为实数，从而得到一个标准形式的复数。
二、复数除法的步骤
1. 找到分母的共轭复数：
分母 $ c + di $ 的共轭复数是 $ c - di $。
2. 分子和分母同时乘以共轭复数：
即：
$$
\frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di}
$$
3. 进行乘法运算：
利用分配律展开分子和分母。
4. 化简结果：
将结果表示为 $ x + yi $ 的形式，其中 $ x $ 和 $ y $ 为实数。
三、复数除法公式总结
| 步骤 | 操作 | 示例 |
| 1 | 写出复数除法表达式 | $\frac{a + bi}{c + di}$ |
| 2 | 找到分母的共轭复数 | $c - di$ |
| 3 | 分子和分母同乘共轭复数 | $\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}$ |
| 4 | 展开分子和分母 | 分子：$ac - adi + bci - bdi^2$ 分母：$c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2$ |
| 5 | 化简并整理 | $\frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$ |
四、最终结果表达式
经过上述步骤后，复数除法的结果可表示为：
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
$$
五、举例说明
假设 $ z_1 = 3 + 4i $，$ z_2 = 1 + 2i $，求 $ \frac{z_1}{z_2} $。
1. 共轭复数：$ 1 - 2i $
2. 乘以共轭：
$$
\frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}
$$
3. 展开计算：
- 分子：$ 3(1) + 3(-2i) + 4i(1) + 4i(-2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i $
- 分母：$ 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 $
4. 结果：$ \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i $
六、总结
复数的除法是一个重要的运算，它通过共轭复数的引入，使得分母变为实数，从而可以更方便地进行计算。掌握这一方法不仅有助于理解复数的性质，也为后续学习复数的模、幅角等概念打下基础。