【矩阵乘法公式】在数学和计算机科学中，矩阵乘法是线性代数中的一个核心概念。它不仅广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域，还在机器学习和数据科学中扮演着重要角色。本文将对矩阵乘法的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其运算规则。
一、矩阵乘法的基本定义
设矩阵 A 是一个 m×n 的矩阵，矩阵 B 是一个 n×p 的矩阵，则它们的乘积 C = AB 是一个 m×p 的矩阵。矩阵 C 中的每个元素 c_ij 是由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素相乘后求和得到的。
具体公式如下：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
$$
其中：
- $ a_{ik} $ 是矩阵 A 的第 i 行第 k 列的元素；
- $ b_{kj} $ 是矩阵 B 的第 k 行第 j 列的元素；
- $ c_{ij} $ 是结果矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素。
二、矩阵乘法的运算规则
| 条件 | 描述 |
| 矩阵维度 | A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，只有当 A 的列数等于 B 的行数时，乘法才可进行 |
| 结果矩阵 | C 是 m×p 矩阵，其元素个数为 m×p |
| 元素计算 | 每个元素 c_ij 是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积（内积） |
三、示例说明
假设矩阵 A 和 B 分别为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
那么它们的乘积 C = AB 为：
$$
C = \begin{bmatrix}
1×5 + 2×7 & 1×6 + 2×8 \\
3×5 + 4×7 & 3×6 + 4×8
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
$$
四、矩阵乘法的性质
| 性质 | 描述 |
| 结合律 | (AB)C = A(BC) |
| 分配律 | A(B + C) = AB + AC；(A + B)C = AC + BC |
| 非交换性 | AB ≠ BA（一般情况下不满足交换律） |
| 单位矩阵 | AI = IA = A，其中 I 是单位矩阵 |
五、总结
矩阵乘法是线性代数中的基本操作之一，理解其公式和运算规则对于进一步学习相关领域的知识至关重要。通过上述总结和表格形式的展示，可以更直观地掌握矩阵乘法的原理及其应用方式。
在实际应用中，矩阵乘法常用于图像处理、数据分析、深度学习等场景，因此掌握其基本方法具有重要意义。