【微积分常用公式有哪些】微积分是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常用的微积分公式，不仅有助于理解基本概念，还能在解题过程中提高效率。本文将对微积分中的常用公式进行总结，并以表格形式呈现，方便查阅和记忆。
一、导数常用公式
导数是微积分的基础，用于描述函数的变化率。以下是常见的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
二、积分常用公式
积分是导数的逆运算，用于求面积、体积等。以下是一些常见的不定积分和定积分公式：
不定积分常用公式
| 函数 | 积分结果 | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C $ |
定积分常用公式（区间 [a, b]）
- $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $，其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
- $ \int_a^a f(x) dx = 0 $
- $ \int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx $
三、基本积分技巧
除了上述基本公式外，还有一些常用的积分技巧，如：
- 换元积分法：令 $ u = g(x) $，则 $ dx = \frac{du}{g'(x)} $
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
- 三角代换：适用于含根号或平方项的表达式
- 有理函数分解：将复杂分数拆分为简单部分积分
四、常见函数的泰勒展开式（麦克劳林级数）
泰勒展开是微积分中用于近似函数的重要工具，以下是一些常见函数的展开式：
| 函数 | 泰勒展开式（在 x=0 处） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $，当 $ | x | < 1 $ |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n $，当 $ | x | < 1 $ |
五、总结
微积分中的公式繁多，但掌握基础导数与积分公式是学习微积分的关键。通过不断练习和应用这些公式，可以提升解决实际问题的能力。希望本文提供的总结和表格能帮助你更系统地理解和记忆微积分中的常用公式。