【向量叉乘公式是什么】向量叉乘是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它用于计算两个向量之间的垂直向量，并能表示这两个向量所构成的平面的法向量。下面我们将总结向量叉乘的基本定义、计算方法及应用。
一、向量叉乘的定义
设两个三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉乘（也称为向量积）记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直的向量。
叉乘的结果向量的方向由右手定则决定，其大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成分量形式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 与标量相乘 | $k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})$ |
| 与自身叉乘 | $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ |
| 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 都垂直 |
四、应用场景
向量叉乘在多个领域有广泛应用，例如：
- 物理学：计算力矩、角动量等；
- 计算机图形学：确定物体表面法线方向；
- 工程力学：分析结构受力情况；
- 机器人学：计算旋转轴方向。
五、示例计算
设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
六、总结
向量叉乘是一种重要的向量运算，能够求出两个向量所形成的平面的法向量。通过行列式或分量计算方式，可以快速得到结果。理解其性质和应用场景有助于在实际问题中灵活运用这一数学工具。