【转动惯量计算公式】转动惯量是描述物体在旋转过程中抵抗角加速度能力的物理量，它与物体的质量分布和转轴位置密切相关。在工程力学、物理学以及机械设计中，转动惯量的计算具有重要意义。本文将对常见的转动惯量计算公式进行总结，并以表格形式展示。
一、转动惯量的基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 I 表示，单位为 kg·m²。其定义为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中：
- $ m_i $ 是物体中某一部分的质量；
- $ r_i $ 是该部分到转轴的距离。
对于连续质量分布的物体，转动惯量可表示为积分形式：
$$
I = \int r^2 dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
以下是一些常见几何形状物体绕特定轴的转动惯量公式，适用于刚体绕其质心或某一固定轴旋转的情况。
| 物体类型 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 实心圆柱体（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{2} m r^2 $ | $ r $ 为半径，$ m $ 为质量 |
| 空心圆柱体（绕中心轴） | $ I = m r^2 $ | $ r $ 为外半径，$ m $ 为质量 |
| 实心球体（绕通过中心的轴） | $ I = \frac{2}{5} m r^2 $ | $ r $ 为半径，$ m $ 为质量 |
| 空心球壳（绕通过中心的轴） | $ I = \frac{2}{3} m r^2 $ | $ r $ 为半径，$ m $ 为质量 |
| 细长杆（绕中心垂直轴） | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | $ L $ 为杆长，$ m $ 为质量 |
| 细长杆（绕一端点轴） | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | $ L $ 为杆长，$ m $ 为质量 |
| 圆环（绕中心轴） | $ I = m r^2 $ | $ r $ 为半径，$ m $ 为质量 |
| 平面矩形板（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | $ a, b $ 为边长，$ m $ 为质量 |
三、影响转动惯量的因素
1. 质量分布：质量越远离转轴，转动惯量越大。
2. 转轴位置：同一物体，不同转轴对应的转动惯量不同。
3. 物体形状：不同几何形状的物体，转动惯量公式各异。
四、应用举例
在实际工程中，如飞轮设计、陀螺仪、电动机转子等，都需要根据具体结构计算转动惯量，以确保系统的稳定性和效率。
例如：
- 一个质量为 2 kg 的实心圆柱体，半径为 0.1 m，绕中心轴的转动惯量为：
$$
I = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.01 \, \text{kg·m}^2
$$
五、总结
转动惯量是研究旋转运动的重要参数，其大小取决于物体的质量分布和转轴位置。掌握常见物体的转动惯量公式有助于在实际问题中快速估算系统性能。通过合理选择转轴和优化质量分布，可以有效控制物体的旋转特性。
附录：常用公式速查表
| 物体 | 公式 | 说明 |
| 实心圆柱 | $ \frac{1}{2} m r^2 $ | 绕中心轴 |
| 空心圆柱 | $ m r^2 $ | 绕中心轴 |
| 实心球 | $ \frac{2}{5} m r^2 $ | 绕中心轴 |
| 空心球 | $ \frac{2}{3} m r^2 $ | 绕中心轴 |
| 杆（中心轴） | $ \frac{1}{12} m L^2 $ | 绕中心垂直轴 |
| 杆（一端轴） | $ \frac{1}{3} m L^2 $ | 绕一端垂直轴 |
| 圆环 | $ m r^2 $ | 绕中心轴 |