【arcsin平方x的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是常见的问题。对于函数 $ (\arcsin x)^2 $，其原函数较为复杂，需要通过分部积分法结合三角函数的性质进行推导。以下是对该函数原函数的总结与分析。
一、原函数总结
函数 $ (\arcsin x)^2 $ 的原函数为：
$$
\int (\arcsin x)^2 \, dx = x(\arcsin x)^2 + 2\arcsin x \sqrt{1 - x^2} - 2x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
二、推导过程简要说明
1. 设变量替换：令 $ u = \arcsin x $，则 $ x = \sin u $，且 $ dx = \cos u \, du $。
2. 代入表达式：将原式转化为 $ \int u^2 \cdot \cos u \, du $。
3. 分部积分：使用两次分部积分法，逐步化简积分。
4. 回代变量：最终将结果转换回关于 $ x $ 的表达式。
三、关键步骤表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ u = \arcsin x $，则 $ x = \sin u $，$ dx = \cos u \, du $ |
| 2 | 原式变为 $ \int u^2 \cdot \cos u \, du $ |
| 3 | 第一次分部积分：令 $ v = u^2 $，$ dw = \cos u \, du $ 得 $ dv = 2u \, du $，$ w = \sin u $ |
| 4 | 得到 $ u^2 \sin u - 2\int u \sin u \, du $ |
| 5 | 第二次分部积分：令 $ v = u $，$ dw = \sin u \, du $ 得 $ dv = du $，$ w = -\cos u $ |
| 6 | 得到 $ u^2 \sin u - 2[-u \cos u + \int \cos u \, du] $ |
| 7 | 化简后得到 $ u^2 \sin u + 2u \cos u - 2\sin u $ |
| 8 | 回代 $ u = \arcsin x $，整理得最终表达式 |
四、结论
函数 $ (\arcsin x)^2 $ 的原函数是一个包含反三角函数和根号表达式的复合函数，计算过程中需要灵活运用分部积分和变量替换技巧。理解这一过程有助于掌握更复杂的积分方法，尤其在处理含有反三角函数的积分时具有重要参考价值。
如需进一步了解其他类似函数的积分方法，可继续探讨 $ \arccos^2 x $ 或 $ \arctan^2 x $ 等形式的原函数。