【相关系数r的计算公式怎么算】在统计学中，相关系数（通常用符号 r 表示）是衡量两个变量之间线性关系密切程度的一个指标。它可以帮助我们判断两个变量是否具有正相关、负相关或无相关性。本文将简要介绍相关系数 r 的计算公式，并通过一个表格展示其具体计算步骤。
一、相关系数r的定义
相关系数 r 的取值范围在 -1 到 +1 之间：
- r = 1：表示完全正相关
- r = -1：表示完全负相关
- r = 0：表示无线性相关
r 的绝对值越大，说明两个变量之间的线性关系越强。
二、相关系数r的计算公式
相关系数 r 的计算公式如下：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $ 是数据对的数量（样本数量）
- $ x $ 和 $ y $ 分别是两个变量的观测值
- $ \sum xy $ 是每个数据对乘积之和
- $ \sum x $ 和 $ \sum y $ 是各自变量的总和
- $ \sum x^2 $ 和 $ \sum y^2 $ 是各自变量平方后的总和
三、计算步骤总结
为了更清晰地理解如何计算相关系数 r，以下是一个简明的步骤总结，并附上一个示例表格进行说明。
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 收集数据 | 收集两组变量的数据对 (x, y) |
| 2 | 计算各项总和 | 计算 $\sum x$, $\sum y$, $\sum xy$, $\sum x^2$, $\sum y^2$ |
| 3 | 代入公式 | 将各项数值代入相关系数公式 |
| 4 | 计算结果 | 得出相关系数 r 的值 |
四、示例计算
假设我们有以下数据对：
| x | y | xy | x² | y² |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 4 | 16 |
| 3 | 6 | 18 | 9 | 36 |
| 4 | 8 | 32 | 16 | 64 |
计算过程：
- $ n = 4 $
- $ \sum x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $
- $ \sum y = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 $
- $ \sum xy = 2 + 8 + 18 + 32 = 60 $
- $ \sum x^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $
- $ \sum y^2 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120 $
代入公式：
$$
r = \frac{4 \times 60 - (10)(20)}{\sqrt{[4 \times 30 - (10)^2][4 \times 120 - (20)^2]}} = \frac{240 - 200}{\sqrt{(120 - 100)(480 - 400)}} = \frac{40}{\sqrt{20 \times 80}} = \frac{40}{\sqrt{1600}} = \frac{40}{40} = 1
$$
因此，该组数据的相关系数 r = 1，表示完全正相关。
五、小结
相关系数 r 是分析变量间线性关系的重要工具。通过上述公式与步骤，我们可以准确计算出两个变量之间的相关程度。在实际应用中，建议使用计算器或软件（如 Excel、SPSS 等）来简化计算过程，提高效率与准确性。
| 名称 | 公式表达式 |
| 相关系数 | $ r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}} $ |
| 取值范围 | -1 ≤ r ≤ 1 |
| 完全正相关 | r = 1 |
| 完全负相关 | r = -1 |
| 无线性相关 | r ≈ 0 |
如需进一步了解相关系数的含义或应用场景，可参考统计学教材或相关数据分析资料。