【最大公因数和最小公倍数怎么求】在数学学习中，最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）是两个非常重要的概念，广泛应用于分数运算、约分、通分以及实际问题的解决中。掌握它们的求法，有助于提高计算效率和理解数与数之间的关系。
一、最大公因数（GCD）
定义：
最大公因数是指两个或多个整数共有因数中最大的一个。
求法：
1. 列举法：分别列出两个数的所有因数，再找出其中最大的公共因数。
2. 分解质因数法：将每个数分解为质因数的乘积，然后取所有共有的质因数的最低次幂相乘。
3. 短除法：用共同的质因数连续去除两个数，直到商互质为止，最后将所有的除数相乘即为最大公因数。
4. 欧几里得算法（辗转相除法）：适用于较大的数，步骤为：用较大数除以较小数，用余数继续除以较小数，直到余数为零，此时的除数就是最大公因数。
二、最小公倍数（LCM）
定义：
最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
求法：
1. 列举法：列出两个数的倍数，找到最小的公共倍数。
2. 分解质因数法：将每个数分解为质因数的乘积，然后取所有质因数的最高次幂相乘。
3. 公式法：利用公式 `LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)`，先求出最大公因数，再代入公式计算最小公倍数。
4. 短除法：用共同的质因数去除两个数，直到商互质，最后将所有除数和商相乘得到最小公倍数。
三、总结对比
| 方法 | 最大公因数（GCD） | 最小公倍数（LCM） |
| 列举法 | 列出因数，找最大公共因数 | 列出倍数，找最小公共倍数 |
| 分解质因数法 | 取共有的质因数的最低次幂 | 取所有质因数的最高次幂 |
| 短除法 | 除到互质，乘除数 | 除到互质，乘除数和商 |
| 欧几里得算法 | 用于大数，反复相除 | 可结合GCD公式使用 |
| 公式法 | 无 | LCM(a,b) = (a×b)/GCD(a,b) |
四、实际应用举例
例1：求12和18的最大公因数和最小公倍数
- 最大公因数：
分解质因数：12 = 2² × 3；18 = 2 × 3²
公有质因数：2¹ × 3¹ = 6
所以 GCD(12, 18) = 6
- 最小公倍数：
LCM = (12 × 18) / 6 = 36
所以 LCM(12, 18) = 36
通过掌握这些方法，可以更灵活地处理涉及最大公因数和最小公倍数的问题。在实际应用中，选择合适的方法能有效提升计算效率和准确性。