问三角形外接圆的圆心坐标公式

【三角形外接圆的圆心坐标公式】在平面几何中，三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的圆，其圆心称为外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，具有重要的几何意义。对于给定的三角形顶点坐标，可以通过代数方法求得其外接圆的圆心坐标。

为了方便计算和应用，可以使用坐标公式来直接求解外接圆的圆心坐标。以下是对该公式的总结，并结合具体示例进行说明。

一、公式推导原理

设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则外接圆的圆心 $ O(x, y) $ 满足以下条件：

- 点 $ O $ 到三顶点的距离相等；

- 即：

$$

\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2}

$$

通过平方并化简可得到两个关于 $ x $ 和 $ y $ 的线性方程，联立求解即可得到圆心坐标。

二、外接圆圆心坐标的通用公式

若已知三角形三个顶点的坐标为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则外接圆的圆心 $ O(x, y) $ 可由以下公式计算：

$$

x = \frac{

\begin{vmatrix}

x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\

x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\

x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{

2 \cdot

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}, \quad

y = \frac{

\begin{vmatrix}

x_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\

x_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\

x_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\

\end{vmatrix}

}{

2 \cdot

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix}

}

$$

其中，分母为三角形面积的两倍（取绝对值），分子部分为行列式形式。

三、公式总结表格

四、实际应用举例

假设三角形三个顶点为 $ A(0, 0) $、$ B(4, 0) $、$ C(0, 3) $，则：

- 计算分母：

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

4 & 0 & 1 \\

0 & 3 & 1 \\

\end{vmatrix}

= 0(0 - 3) - 0(4 - 0) + 1(12 - 0) = 12

$$

- 计算 $ x $：

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

16 & 0 & 1 \\

0 & 9 & 1 \\

\end{vmatrix}

= 0(0 - 9) - 0(16 - 0) + 1(144 - 0) = 144

$$

所以 $ x = \frac{144}{2 \times 12} = 6 $

- 计算 $ y $：

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

4 & 16 & 1 \\

0 & 9 & 1 \\

\end{vmatrix}

= 0(16 - 9) - 0(4 - 0) + 1(36 - 0) = 36

$$

所以 $ y = \frac{36}{2 \times 12} = 1.5 $

因此，外接圆的圆心坐标为 $ (6, 1.5) $。

五、总结

三角形外接圆的圆心坐标可以通过行列式公式直接计算，适用于任意三点构成的三角形。掌握这一公式有助于快速求解几何问题，在计算机图形学、工程设计等领域有广泛应用。

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