【分数导数怎么求】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。而“分数导数”这一说法通常指的是对含有分数形式的函数进行求导，例如分式函数（即分子和分母都是关于变量的多项式或函数）。本文将总结如何对这类函数进行求导，并通过表格形式清晰展示常见类型的求导方法。
一、基本概念
分数函数一般形式为：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。
对这种函数求导时，需要用到商数法则（Quotient Rule）。
二、求导方法总结
| 函数类型 | 公式 | 导数公式 | 说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = \frac{c}{x} $ | $ f'(x) = -\frac{c}{x^2} $ | 分子为常数，分母为变量 |
| 线性分式 | $ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} $ | $ f'(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} $ | 使用商数法则直接计算 |
| 多项式分式 | $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 商数法则的标准应用 |
| 含幂函数 | $ f(x) = \frac{x^n}{g(x)} $ | $ f'(x) = \frac{n x^{n-1} g(x) - x^n g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 结合幂函数求导与商数法则 |
| 复合分式 | $ f(x) = \frac{u(v(x))}{w(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(v(x)) \cdot v'(x) \cdot w(x) - u(v(x)) \cdot w'(x)}{[w(x)]^2} $ | 需要链式法则结合商数法则 |
三、实际例子解析
例1：求 $ f(x) = \frac{3x + 2}{x - 1} $ 的导数。
使用商数法则：
$$
f'(x) = \frac{(3)(x - 1) - (3x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{3x - 3 - 3x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}
$$
例2：求 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $ 的导数。
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}
$$
四、注意事项
1. 分母不能为零，在定义域内必须排除使分母为零的点。
2. 注意符号，尤其是商数法则中的减号容易出错。
3. 简化表达式，在得到导数后尽量化简，便于后续分析或计算。
五、总结
分数导数的求解主要依赖于商数法则，适用于所有分式函数的导数计算。掌握不同类型的分式函数及其对应的求导方式，有助于提高解题效率和准确性。在实际应用中，还需结合其他求导规则（如链式法则、乘积法则等），灵活应对复杂问题。
如需进一步了解具体函数的导数计算，可提供具体函数形式，我将为您详细推导。