【什么叫正交矩阵】正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它具有特殊的性质，使得在计算中可以简化很多问题。下面将从定义、性质和应用三个方面进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、定义
一个正交矩阵是指其列向量（或行向量）之间两两正交，并且每个向量的模长为1的方阵。换句话说，一个矩阵 $ Q $ 是正交矩阵，当且仅当满足以下条件：
$$
Q^T Q = I
$$
其中，$ Q^T $ 表示 $ Q $ 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。
等价地，如果 $ Q $ 是正交矩阵，则有：
$$
Q^{-1} = Q^T
$$
这说明正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵。
二、性质
正交矩阵具有以下几个重要性质：
| 属性 | 描述 | ||||
| 列向量正交 | 每两个不同的列向量之间的点积为0 | ||||
| 单位长度 | 每个列向量的模长为1 | ||||
| 逆等于转置 | $ Q^{-1} = Q^T $ | ||||
| 行向量也正交 | 同样适用于行向量 | ||||
| 行列式值为 ±1 | $ \det(Q) = \pm 1 $ | ||||
| 保持向量长度 | 对任意向量 $ x $，有 $ \ | Qx\ | = \ | x\ | $ |
三、应用
正交矩阵在多个领域都有广泛应用，包括但不限于：
- 几何变换：如旋转和反射操作。
- 数值计算：用于求解线性方程组、最小二乘问题等。
- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等。
- 数据压缩：通过正交变换实现数据降维。
- 机器学习：用于特征提取与数据预处理。
四、例子
考虑一个简单的2×2正交矩阵：
$$
Q = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
该矩阵表示绕原点的旋转矩阵，其列向量分别为 $ (\cos\theta, \sin\theta) $ 和 $ (-\sin\theta, \cos\theta) $，显然它们互相正交且模长为1。
五、总结
正交矩阵是一种结构特殊的方阵，具有良好的几何和代数性质。它不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也发挥着重要作用。理解正交矩阵的概念和性质，有助于更深入地掌握线性代数及相关学科的知识。
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 正交矩阵 |
| 定义 | 满足 $ Q^T Q = I $ 的方阵 |
| 性质 | 列/行正交、单位长度、逆等于转置、行列式为±1 |
| 应用 | 几何变换、数值计算、信号处理、数据压缩等 |
| 示例 | 旋转矩阵、标准正交基构成的矩阵 |